Question

如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)，AF=3．

（I）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE;
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點(diǎn)P，使得AP⊥MN? 若存在，求出FP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在，

試題分析：（I）由面面垂直的性質(zhì)定理可直接證得。（Ⅱ）將轉(zhuǎn)化為的中點(diǎn)，利用中位線證∥，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證MN∥平面CDFE。（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)P使AP⊥MN，由（I）易得所以。（Ⅲ）由逆向思維可知只需證得，因為，即可證得AP⊥MN。由相似三角形的相似比即可求得FP。
試題解析：（I）因為為正方形，所以。
因為平面, ,，所以.
（Ⅱ）連結(jié)

因為是的中點(diǎn)，且為矩形，所以也是的中點(diǎn)。因為是的中點(diǎn)，所以∥，因為,所以MN∥平面CDFE。
（Ⅲ）過點(diǎn)作交線段于點(diǎn),則點(diǎn)即為所求。因為ABCD為正方形，所以∥。因為，所以，因為,所以。因為，且，所以,因為,所以。因為與相似，所以,因為，所以。