(理)如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD
(1)問BC邊上是否存在Q點,使
PQ
QD
,說明理由.
(2)問當Q點惟一,且cos<
BP
,
QD
>=
10
10
時,求點P的位置.
分析:(1)建立空間直角坐標系A一xyz,設P,D,Q的坐標,求得向量坐標,利用
PQ
QD
,可方程,利用判別式,即可得到結論;
(2)當Q點惟一時,由5題知,a=2,y=1,利用cos<
BP
,
QD
>=
10
10
,建立方程,即可求點P的位置.
解答:(理)解:(1)如答圖9-6-2所示,建立空間直角坐標系A一xyz,設P(0,0,z),D(0,a,0),Q(1,y,0),

PQ
=(1,y,-z),
QD
=(-1,a-y,0),且
PQ
QD
,
PQ
QD
=-1+y(a-y)=0
∴y2-ay+1=0.
∴△=a2-4.
當a>2時,△>0,存在兩個符合條件的Q點;
當a=2時,△=0,存在惟一一個符合條件的Q點;
當a<2時,△<0,不存在符合條件的Q點.
(2)當Q點惟一時,由題知,a=2,y=1.
∴B(1,0,0),
BP
=(-1,0,z),
QD
=(-1,1,0).
∴cos<
BP
,
QD
>=
BP
QD
|
BP
||
QD
=
1
1+z2
×
2
=
10
10

∴z=2.即P在距A點2個單位處.
點評:本題考查向量在幾何中的運用,解題的關鍵是建立坐標系,利用坐標表示點與向量,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(2)若BC邊上存在唯一的點Q使得FQ⊥QD,指出點Q的位置,并求出此時AD與平面PDQ所成的角的正弦值;
(3)在(2)的條件下,求二面角Q-PD-A的正弦值.

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(1)問BC邊上是否存在Q點,使,說明理由.
(2)問當Q點惟一,且cos<>=時,求點P的位置.

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