【題目】已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,線段的垂直平分線與交于點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn)使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1) (2)軸上存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn).

【解析】試題分析:(1)由圓的方程求出F1、F2的坐標(biāo),結(jié)合題意可得點(diǎn)M的軌跡C為以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓,并求得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;

(2)直線l的方程可設(shè)為,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A,B橫坐標(biāo)的和與積,假設(shè)在y軸上是否存在定點(diǎn)Q(0,m),使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn),可得.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得m值,即定點(diǎn)Q得坐標(biāo).

試題解析:

解:(1)由題意得,

∴點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓

∴點(diǎn)的軌跡的方程為.

(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)其方程為,設(shè)

聯(lián)立可得

由求根公式可得

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn),

,

,

解得

∴在軸上存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)可知也滿足以為直徑的圓恒過點(diǎn).

因此在軸上存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè) 是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連接交橢圓于另一點(diǎn),證明直線軸相交于定點(diǎn);

(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)的直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),求的取值范圍.

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【題目】為了普及環(huán)保知識(shí)增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),某校從理工類專業(yè)甲班抽取60人,從文史類乙班抽取50人參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試 附:k2= ,n=a+b+c+d

P(K2>k0

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879


(1)根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷你是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)與專業(yè)有關(guān)

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

甲班

乙班

30

總計(jì)

60


(2)為參加上級(jí)舉辦的環(huán)保知識(shí)競賽,學(xué)校舉辦預(yù)選賽,預(yù)選賽答卷滿分100分,優(yōu)秀的同學(xué)得60分以上通過預(yù)選,非優(yōu)秀的同學(xué)得80分以上通過預(yù)選,若每位同學(xué)得60分以上的概率為 ,得80分以上的概率為 ,現(xiàn)已知甲班有3人參加預(yù)選賽,其中1人為優(yōu)秀學(xué)生,若隨機(jī)變量X表示甲班通過預(yù)選的人數(shù),求X的分布列及期望E(X).

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【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(Ⅱ)若時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)取值范圍.

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【題目】2017年12月4日0時(shí)起鄭州市實(shí)施機(jī)動(dòng)車單雙號(hào)限行,新能源汽車不在限行范圍內(nèi),某人為了出行方便,準(zhǔn)備購買某能源汽車.假設(shè)購車費(fèi)用為14.4萬元,每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、充電費(fèi)等其他費(fèi)用共0.9萬元,汽車的保養(yǎng)維修費(fèi)為:第一年0.2萬元,第二年0.4萬元,第三年0.6萬元,…,依等差數(shù)列逐年遞增.

(1)設(shè)使用年該車的總費(fèi)用(包括購車費(fèi)用)為,試寫出的表達(dá)式;

2問這種新能源汽車使用多少年報(bào)廢最合算(即該車使用多少年平均費(fèi)用最少),年平均費(fèi)用的最小值是多少?

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【題目】設(shè)集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2+2a﹣1x+a2﹣5=0}

1)若A∩B={2},求實(shí)數(shù)a的值;

2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,平行于軸的兩條直線分別交兩點(diǎn),交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn).

(1)若在線段上, 的中點(diǎn),證明: ;

(2)若的面積是的面積的兩倍,求中點(diǎn)的軌跡方程.

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【題目】(1)求過點(diǎn)P(2,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

(2)已知直線l平行于直線4x+3y-7=0,直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長是15,求直線l的方程.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln2x-2aln(ex)+3,x∈[e-1,e2]

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;

(2)若f(x)≤-alnx+4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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