Question

16、已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）試證：對(duì)于區(qū)間[-1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷b，d的值，在對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令f'（1）=0可求出c的值，進(jìn)而確定函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值，然后對(duì)|f（x₁）-f（x₂）|進(jìn)行放縮即可得證．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴b=d=0，f（x）=x³+cx∴f'（x）=3x²+c
∵在x=±1處取得極值∴f'（1）=0∴c=-3
∴f（x）=x³-3x；
（2）證明：∵f'（x）=3x²-3
∴令f'（x）=3x²-3=0，x=±1且-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
∵f（x）_max=f（-1）=2，f（x）_min=f（1）=-2
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（-1）-f（1）2+2=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．