Question

19．已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x），當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=-x²+x，設(shè)f（x）在[n-1，n）上的最大值為${a_n}（{n∈{N^*}}）$，則a₄=（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{1}{32}$

Answer 1

分析 f（x+1）=2f（x），就是函數(shù)f（x）向右平移1個(gè)單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?倍，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$．可得a₁=f（$\frac{1}{2}$），q=2，可得a_n，即可得出．

解答 解：∵f（x+1）=2f（x），就是函數(shù)f（x）向右平移1個(gè)單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?倍，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$．
a₁=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，q=2，
∴a_n=$\frac{1}{4}$×2^n-1=2^n-3，
∴a₄=$\frac{1}{4}$×2^4-1=2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．