【題目】已知定點(為正常數(shù)),為軸負半軸上的一個動點,動點滿足,且線段的中點在軸上.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設為曲線的一條動弦(不垂直于軸).其垂直平分線與軸交于點.當時,求的最大值.
【答案】(1)(2)6
【解析】
(1)設,進而求得的坐標,再根據(jù)三角形的性質(zhì)可得即可得滿足的方程,化簡即可.
(2)由(1)以及可得軌跡的方程為,再設弦所在直線方程為,,,聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用韋達定理求得的中點,進而求得線段的垂直平分線的方程,代入得到,再根據(jù)弦長公式求解,代入利用二次不等式的最值求解即可.
解:(1)設,則的中點的坐標為,.
又,故.
由題意知,所以,即,所以.
因為點不能在軸上,故曲線的方程為.
(2)設弦所在直線方程為,,.
由得.①
則,,則線段的中點為,
即.
線段的垂直平分線的方程為.
令,,得.得.
所以
由①,
.
得,即.
所以,當,即時,取得最大值,最大值等于36,即的最大值為6.
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【題目】已知點A(0,2),B為拋物線x2=2y﹣2上任意一點,且B為AC的中點,設動點C的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)是否存在斜率為1的直線l交曲線E于M、N兩點,使得△MAN為以MN為底邊的等腰三角形?若存在,請求出l的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】函數(shù)是上的偶函數(shù),且,若在上單調(diào)遞減,則函數(shù)在上是( )
A. 增函數(shù) B. 減函數(shù) C. 先增后減的函數(shù) D. 先減后增的函數(shù)
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【題目】2020年1月1日《天津日報》發(fā)表文章總結(jié)天津海河英才計劃成果“厚植熱土 讓天下才天津用”——我市精細服務海河英才優(yōu)化引才結(jié)構(gòu).“海河英才”行動計劃,緊緊圍繞“一基地三區(qū)”定位,聚焦戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)人才需求,大力、大膽集聚人才.政策實施1年半以來,截至2019年11月30日,累計引進各類人才落戶23.5萬人.具體比例如圖所示,新引進兩院院士,長江學者,杰出青年科學基金獲得者等頂尖領軍人才112人.記者李軍計劃從人才庫中隨機選取一部分英才進行跟蹤調(diào)查采訪.
(1)李軍抽取了8人其中學歷型人才4人,技能型人才3人,資格型人才1人,周二和周五隨機進行采訪,每天4人(4人順序任意),周五采訪學歷型人才人數(shù)不超過2人的概率;
(2)李軍抽取不同類型的人才有不同的采訪補貼,學歷型人才500元/人,技能型人才400元/人,資格型人才600元/人,則創(chuàng)業(yè)型急需型人才最少補貼多少元/人使每名人才平均采訪補貼費用大于等于500元/人?
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【題目】若關于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0,2e]B.(﹣∞,2e]C.[0,2e2]D.(﹣∞,2e2]
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M,正實數(shù)a,b滿足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求證:aabb≥ab.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線:(α為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換得到曲線,在以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程;
(2)設點P是曲線上的動點,求點P到直線l距離d的最大值.
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