Question

已知，（ a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底）．
（1）
（2）時取得極小值，試確定a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)的極大值構(gòu)成的函數(shù)，將a換元為x，試判斷是否能與（m為確定的常數(shù)）相切，并說明理由．

Answer 1

（1）；（2）使函數(shù)在時取得極小值的的取值范圍是；（3）不能相切，過程見解析．

試題分析：（1）當(dāng)時，,先求導(dǎo)函數(shù)，將代入可得；（2），令，得或，對進(jìn)行討論，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有極小值，當(dāng)時，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，當(dāng)時，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（3）極大值為，則，可得，令則恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)．當(dāng)時，，即恒有，直線斜率為，不可能相切．
解（1）當(dāng)時，．．
所以．
（2）．
令，得或．
當(dāng)，即時，
恒成立，
此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有極小值；
當(dāng)，即時，
若，則．若，則．
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)．
當(dāng)，即時，
若，則．若，則．
此時是函數(shù)的極大值點(diǎn)．
綜上所述，使函數(shù)在時取得極小值的的取值范圍是．
（3）由（2）知當(dāng)，且時，，
因此是的極大值點(diǎn)，極大值為．
所以．．
令．
則恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)．
所以當(dāng)時，，即恒有．
又直線的斜率為，
所以曲線不能與直線相切．