Question

已知不等式|1-kxy|＞|kx-y|．
（1）當(dāng)k=1，y=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式|1-kxy|＞|kx-y|；
（2）若不等式|1-kxy|＞|kx-y|對(duì)任意滿(mǎn)足|x|＜1，|y|＜1的實(shí)數(shù)x，y恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)k=1，y=2時(shí)，不等式|1-kxy|＞|kx-y|，即為|1-2x|＞|x-2|．
所以，1-4x+4x²＞x²-4x+4 等價(jià)于 x²＞1，所以，x∈（-∞，-1）∩（1，+∞）．
（2）由已知得|1-kxy|＞|kx-y|等價(jià)于|1-kxy|²＞|kx-y|² 等價(jià)于 1+k²x²y²＞k²x²+y²，
即（k²x²-1）（y²-1）＞0對(duì)任意滿(mǎn)足|x|＜1，|y|＜1的實(shí)數(shù)x，y 恒成立．
而y²＜1，所以y²-1＜0，故（k²x²-1）（y²-1）＞0，等價(jià)于 k²x²-1＜0．
于是命題轉(zhuǎn)化為k²x²-1＜0對(duì)任意滿(mǎn)足|x|＜1的實(shí)數(shù)x恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，易得k∈R；
當(dāng)x≠0時(shí)，有k²＜對(duì)任意滿(mǎn)足|x|＜1，x≠0的實(shí)數(shù)x恒成立．
由0＜|x|＜1 等價(jià)于 0＜x²＜1，∴∈（1，+∞），所以，k²≤1．
綜合以上得k∈[-1，1]即為所求的取值范圍．
分析：（1）當(dāng)k=1，y=2時(shí)，由不等式可得|1-2x|＞|x-2|，即 1-4x+4x²＞x²-4x+4，等價(jià)于 x²＞1．
（2）已知不等式等價(jià)于 （k²x²-1）（y²-1）＞0對(duì)任意滿(mǎn)足|x|＜1，|y|＜1的實(shí)數(shù)x，y 恒成立，而y²＜1，轉(zhuǎn)化為k²x²-1＜0對(duì)任意滿(mǎn)足|x|＜1的實(shí)數(shù)x恒成立，由 ∈（1，+∞），可得 k²≤1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查查絕對(duì)值不等式的解法，不等式的基本性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．