Question

（理）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)平面向量

e1

=（2cosC，

c

2

-b），

e2

=（

1

2

a，1），且

e1

⊥

e2

．
（I）求cos2A的值；      
（Ⅱ）若a=2，則△ABC的周長L的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合正弦定理，求出A，即可求cos2A的值；
（Ⅱ）若a=2，由余弦定理，結(jié)合b+c＞2，利用基本不等式，求出2＜b+c≤4，即可求出△ABC的周長L的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

e1

=（2cosC，

c

2

-b），

e2

=（

1

2

a，1），且

e1

⊥

e2

，
∴acosC+

c

2

-b=0，
∴根據(jù)正弦定理，可得2sinAcosC+sinC=2sinB，
∴2sinAcosC+sinC=2sin（A+C），
∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

，
∴cos2A=-

1

2

；
（Ⅱ）∵a=2，
∴由余弦定理可得4=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-

3(b+c)2

4

=

(b+c)2

4

，
∴b+c≤4（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)）
又b+c＞2，
∴2＜b+c≤4，
∴△ABC的周長L的取值范圍為（4，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式，屬于中檔題．