Question

已知點P(3,4)是橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點，F₁、F₂是橢圓的兩焦點，若PF₁⊥PF₂，試求：

(1)橢圓方程；

(2)△PF₁F₂的面積．

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1)法一：令F₁(－c,0)，F₂(c,0)，

∵PF₁⊥PF₂，∴kPF₁·kPF₂＝－1，………………3分

即·＝－1，解得c＝5，

∴橢圓方程為＋＝1.

∵點P(3,4)在橢圓上，

∴＋＝1，

解得a²＝45或a²＝5，

 

又a>c，∴a²＝5舍去，

故所求橢圓方程為＋＝1.………………5分

法二：∵PF₁⊥PF₂，

∴△PF₁F₂為直角三角形，

∴|OP|＝|F₁F₂|＝c.

又|OP|＝＝5，∴c＝5，

∴橢圓方程為＋＝1(以下同法一)．………………5分

(2)法一：P點縱坐標的值即為F₁F₂邊上的高，

∴S△PF₁F₂＝|F₁F₂|×4＝×10×4＝20.………………10分

法二：由橢圓定義知：|PF₁|＋|PF₂|＝6①

又|PF₁|²＋|PF₂|²＝|F₁F₂|²②

①²－②得2|PF₁|·|PF₂|＝80，

∴S△PF₁F₂＝|PF₁|·|PF₂|＝20.………………10分

【解析】略