Question

已知關于x的方程sinx+cosx=a與tanx+cotx=a的解集都是空集，則實數(shù)a的取值范圍是

(-2，-

2

)∪(

2

，2)

．

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦函數(shù)化簡方程sinx+cosx=a為：

2

sin（ x+

π

4

）=a，由解集是空集求出實數(shù)a的取值范圍．再由
tanx+cotx=a的解集是空集求出實數(shù)a的取值范圍，將實數(shù)a的這兩個取值范圍取交集，即得所求．

解答：解：方程sinx+cosx=a 化簡為：

2

sin（ x+

π

4

）=a，即 sin（ x+

π

4

）=

2 a

2

，
若沒有解集，那么

2 a

2

＞1或

2 a

2

＜-1，
解得 a＞

2

或a＜-

2

，即實數(shù)a的取值范圍是 （

2

，+∞）∪（-∞，-

2

）．
∵tanx+cotx≥2，或tanx+cotx≤-2，若tanx+cotx=a的解集是空集，
則有-2＜a＜2，即實數(shù)a的取值范圍是 （-2，2 ）．
對這兩個實數(shù)a的取值范圍取交集可得(-2，-

2

)∪(

2

，2)，
故答案為 (-2，-

2

)∪(

2

，2)．

點評：本題考查求三角函數(shù)的最值，基本不等式的應用，空集的概念，考查計算能力，是基礎題．