Question

【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，稱為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間稱為含峰區(qū)間；

（1）判斷下列函數(shù)：①，②，哪些是“上的單峰函數(shù)”？若是，指出峰點(diǎn)，若不是，說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)（）是上的單峰函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)是上的單峰函數(shù)，若m，），，且，求證：為的含峰區(qū)間．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）依次判斷各函數(shù)在上是否存在極大值點(diǎn)即可得出結(jié)論；

（2）求出的極大值點(diǎn)，令極大值點(diǎn)在區(qū)間上即可；

（3）利用的單調(diào)性得出的峰點(diǎn)在區(qū)間上即可．

（1）①，令得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴是上的單峰函數(shù)，峰點(diǎn)為；

②當(dāng)時(shí)，．

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴不是上的單峰函數(shù)；

（2），令得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∴是的極大值點(diǎn)，

∵函數(shù)是上的單峰函數(shù)，

∴，解得：．

（3）證明：∵是上的單峰函數(shù)，

∴存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

假設(shè)，則在上是增函數(shù)，

∴，與矛盾；

∴假設(shè)錯(cuò)誤，故，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴為的含峰區(qū)間．