Question

2．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，計(jì)算高三全體學(xué)生視力在5.0以下的人數(shù)，并估計(jì)這100名學(xué)生視力的中位數(shù)（精確到0.1）；
（Ⅱ）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)高三全體學(xué)生成績(jī)名次在前50名和后50名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如表1中數(shù)據(jù)，根據(jù)表1及臨界值表2中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系？
表一

年級(jí)名次 是否近視	前50名	后50名
近視	42	34
不近視	8	16

附：臨界值表2

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，求出視力在5.0以下的頻率，即可估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)；利用組中值估計(jì)這100名學(xué)生視力的中位數(shù)；
（Ⅱ）求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則0.2×（1.35+1.35+d+1.35+2d+1.35+3d+0.15+0.35）=1，∴d=-0.15，
∴后四組的頻率為0.27，0.24，0.21，0.18，
∴后四組頻數(shù)依次為27，24，21，18，
所以視力在5.0以下的頻數(shù)為3+7+27+24+21=82人，
故全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)約為1000×$\frac{82}{100}$=820．
這100名學(xué)生視力的中位數(shù)4.1×0.15×0.2+4.3×0.35×0.2+4.4×0.27+4.5×0.24+4.6×0.21+4.7×0.18≈4.5
（Ⅱ）K²=$\frac{100×（42×16-8×34）^{2}}{50×50×76×24}$≈5.482＞3.841．
因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直方圖，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．