20.已知函數(shù)f(x)=2lnx+$\frac{1}{x}$.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若對(duì)于任意的x∈[1,+∞)及t∈[1,2],不等式f(x)≥t2-2mt+2恒成立,試求m的取值范圍.

分析 (1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值;
(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t2-2mt+1≤0對(duì)?t∈[1,2]恒成立,得不等式組,解出即可.

解答 解:(1)f′(x)=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=0⇒x=$\frac{1}{2}$,
列表如下:

x(0,$\frac{1}{2}$)$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$,+∞)
f'(x)-0+
f(x)極小值2-2ln2
所以,f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,$\frac{1}{2}$),單調(diào)遞增區(qū)間為($\frac{1}{2}$,+∞),極小值是2-2ln2,無(wú)極大值.
(2)由(1)可知f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以t2-2mt+2≤f(x)min=f(1)=1即t2-2mt+1≤0對(duì)?t∈[1,2]恒成立,
所以 $\left\{\begin{array}{l}{1-2m+1≤0}\\{4-4m+1≤0}\end{array}\right.$,解得m≥$\frac{5}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的極值問(wèn)題,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,不等式恒成立問(wèn)題,是一道綜合題.

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通項(xiàng)公式:an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-1}{2},n為奇數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}}{2},n為偶數(shù)}\end{array}\right.$       
如果把這個(gè)數(shù)列{an}排成右側(cè)形狀,并記A(m,n)表示第m行中從左向右第n個(gè)數(shù),則A(10,4)的值為3612.

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