【題目】如圖,邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直,是上異于,的點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)當(dāng)三棱錐體積最大時,求面與面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析
(2)
【解析】分析:(1)先證平面CMD,得,再證,進(jìn)而完成證明。
(2)先建立空間直角坐標(biāo)系,然后判斷出的位置,求出平面和平面的法向量,進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值。
詳解:(1)由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)?/span>BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因?yàn)?/span>M為上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以 DM⊥CM.
又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
當(dāng)三棱錐MABC體積最大時,M為的中點(diǎn).
由題設(shè)得,
設(shè)是平面MAB的法向量,則
即
可取.
是平面MCD的法向量,因此
,
,
所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),其傾斜角是α,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ2=6ρcosθ﹣5.
(Ⅰ)若直線l和曲線C有公共點(diǎn),求傾斜角α的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)B(x,y)為曲線C任意一點(diǎn),求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,且anan+1+ (an﹣an+1)+1=0,則a2016=( )
A.1
B.﹣1
C.2+
D.2﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B、C為⊙O上三點(diǎn),B為 的中點(diǎn),P為AC延長線上一點(diǎn),PQ與⊙O相切于點(diǎn)Q,BQ與AC相交于點(diǎn)D.
(Ⅰ)證明:△DPQ為等腰三角形;
(Ⅱ)若PC=1,AD=PD,求BDQD的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,BC=6,PA=AD=CD=2,E為BC上一點(diǎn)且BE= BC,PB⊥AE.
(1)求證:AB⊥PE;
(2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì).直到1872年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割),并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與,且滿足,,中的每一個元素都小于中的每一個元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割,下列選項(xiàng)中,不可能成立的是( )
A. 沒有最大元素, 有一個最小元素 B. 沒有最大元素, 也沒有最小元素
C. 有一個最大元素, 有一個最小元素 D. 有一個最大元素, 沒有最小元素
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若直線與軸,軸的交點(diǎn)分別為,圓以線段為直徑.
(Ⅰ)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線過點(diǎn),與圓交于點(diǎn),且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正四棱錐中, 分別是
的中點(diǎn),動點(diǎn)在線段上運(yùn)動時,下列結(jié)論中不恒成立的是( 。
A. 與異面 B. ∥面
C. ⊥ D. ∥
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