【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)滿足:

對任意的, ,當(dāng)時,有成立;

恒成立.求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增;(2.

【解析】試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值等性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,同時考查分類討論等綜合解題能力.第一問,對求導(dǎo),求導(dǎo)后還無法直接判斷的正負,所以再次求導(dǎo),得到恒大于0,則上單調(diào)遞增,而,所以當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,故上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增;第二問,<1>由第一問函數(shù)的單調(diào)性可知, 必異號,不妨設(shè),先證明一個結(jié)論:當(dāng)時,對任意的成立,當(dāng)時,對任意的成立,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值證明結(jié)論,最后得出結(jié)論,當(dāng)時,當(dāng)且僅當(dāng)時,有成立;<2>由題意分析只需即可,通過上一步的證明,得到,而中取得,作差比較的大小,從而得到,代入到上式即可.

試題解析:(1

,則

從而上單調(diào)遞增,即上單調(diào)遞增,又,

所以當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,

上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增.

2)由(1)可知,當(dāng), 時, 必異號,不妨設(shè),

我們先證明一個結(jié)論:當(dāng)時,對任意的成立;

當(dāng)時,對任意的成立.

事實上, ,

構(gòu)造函數(shù),

,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),又

當(dāng)時, ,所以上是單調(diào)遞減, ,此時,對任意的成立.當(dāng)時, ,所以上是單調(diào)遞增, ,此時,對任意的成立;

當(dāng)時, ,由于上單調(diào)遞減,所以, .同理, .

當(dāng)時,當(dāng)且僅當(dāng)時,有成立. 8

時,由(1)可得,

,所以,因此得取值范圍為.

構(gòu)造函數(shù), , ,

所以單調(diào)遞增,又,所以,當(dāng),即,

所以.

因為,

若要題設(shè)中的不等式恒成立,只需成立即可.

構(gòu)造函數(shù), , ,

所以上遞增,又,所以,由,得,

,所以,因此的取值范圍為.

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8

3

4

1

5

9

6

7

2

A. 9 B. 8 C. 6 D. 4

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