Question

已知1＜2
1+

1

2

＜2

2

1+

1

2

+

1

3

＜2

3

…
觀察上述不等式的規(guī)律，寫出一個關于n的不等式，并用數(shù)學歸納法證明你所得的結論．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,不等式的證明

專題：不等式的解法及應用

分析：利用已知條件歸納出不等式，然后利用數(shù)學歸納法的證明步驟證明，在證明n=k+1時，方法一是利用基本不等式證明成立，方法二是利用分析法證明n=k+1成立，

解答： 解：關于n的不等式為1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

…..（3分）
下面由數(shù)學歸納法證明結論
（1）當n=1時，左邊=1，右邊=2，顯然不等式成立．…..（4分）
（2）假設當n=k，（k≥1）時不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

 …..（5分）
當n=k+1時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=

2 k k+1 +1

k+1

…（9分）
下面證明不等式

2 k k+1 +1

k+1

＜2

k+1

．
方法（一）由基本不等式可知：2

k

k+1

＜k+k+1=2k+1，所以

2 k k+1 +1

k+1

＜

2k+1+1

k+1

=2

k+1

…．（13分）
（方法二）要證明

2 k k+1 +1

k+1

＜2

k+1

只需證2

k

k+1

+1＜2(k+1)
即證2

k

k+1

＜2k+1
只需證4k（k+1）＜4k²+4k+1
即證0＜10＜1顯然成立，得證             …..（13分）
從而有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k+1

由（1）（2）可知對于任意的自然數(shù)n，（n≥1）不等式均成立．…..（14分）

點評：本題考查歸納推理，數(shù)學歸納法的證明方法的應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．