Question

5．橢圓$\frac{x^2}{3a}$+$\frac{y^2}{{3a-{a^2}-1}}$=1的離心率的最小值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 求出離心率的表達(dá)式，然后求解最小值即可．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{3a}$+$\frac{y^2}{{3a-{a^2}-1}}$=1，可知a＞0，3a-a²-1＞0，
橢圓的離心率：e=$\sqrt{\frac{3a-3a+{a}^{2}+1}{3a}}$=$\sqrt{\frac{a}{3}+\frac{1}{3a}}$≥$\sqrt{2\sqrt{\frac{a}{3}•\frac{1}{3a}}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．