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已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,焦距為.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)設不過原點的直線與橢圓交于兩點,且直線的斜率依次成等比數列,求△面積的取值范圍.

 

(Ⅰ);(Ⅱ)(0,1)

【解析】

試題分析:(Ⅰ)根據條件,可計算出a,b,代入即可得到橢圓方程;

(Ⅱ)聯立橢圓和直線方程,消元,得到關于x的一元二次方程,

得:

又直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數列,得到

聯立兩個式子,構造關系式,得到

設原點O到直線l的距離為d,則

根據,

從而可得△OMN面積的取值范圍為(0,1).

試題解析:(Ⅰ)由已知得

所以C方程:.

(Ⅱ)由題意可設直線l的方程為:y=kx+m(k≠0,m≠0)

聯立,消去y并整理,

得:,

此時設M(,),N(,),

,

于是,

又直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數列,

所以,

由m≠0,得,

又由,

顯然

設原點O到直線l的距離為d,則

,

故由m得取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為(0,1).

考點:直線與橢圓相交的綜合試題.

 

練習冊系列答案
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