如圖,已知橢圓的長(zhǎng)軸為AB,過(guò)點(diǎn)B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點(diǎn),且
(1)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是此橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn), 軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn),為的中點(diǎn),判定直線與以為直徑的圓O位置關(guān)系。
(1);(2)直線與以為直徑的圓O相切.
解析試題分析:本體主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn),先設(shè)出頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo),代入到已知中列出表達(dá)式解出和的值,所以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問(wèn),設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo),得到,所以可以得到直線的方程,同理得直線的方程,由直線的方程得到點(diǎn)坐標(biāo),從而得斜率,利用橢圓方程化簡(jiǎn),從而得到直線的方程,利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系.
試題解析:(1)可知,,,,
,
,
得
橢圓方程為
(2)設(shè)則
由得,
所以直線AQ的方程為,
由得直線的方程為
由,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5f/4/xanqv.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
所以直線NQ的方程為
化簡(jiǎn)整理得到,
所以點(diǎn)O直線NQ的距離=圓O的半徑,
直線與以為直徑的圓O相切.
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.直線的方程;3.點(diǎn)到直線的距離;4.直線與圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,為原點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn),是的中點(diǎn),且,求點(diǎn)到軸的距離;
(2)如圖2,直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若在橢圓上存在點(diǎn),使四邊形為平行四邊形,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(13分) 已知橢圓C的中心在原點(diǎn),離心率等于,它的一個(gè)短軸端點(diǎn)點(diǎn)恰好是拋物線 的焦點(diǎn)。
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是橢圓上的兩點(diǎn),A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;
②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足=,試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)直線與雙曲線交于A、B,且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),短軸長(zhǎng)為4,且有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(2,0)且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn)在x軸上是否另存在一個(gè)定點(diǎn)P使得始終平分?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是、,是橢圓右準(zhǔn)線上的一點(diǎn),線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn).又直線:按向量平移后的直線是,直線:按向量平移后的直線是 (其中)。
(1) 求橢圓的離心率的取值范圍。
(2)當(dāng)離心率最小且時(shí),求橢圓的方程。
(3)若直線與相交于(2)中所求得的橢圓內(nèi)的一點(diǎn),且與這個(gè)橢圓交于、兩點(diǎn),與這個(gè)橢圓交于、兩點(diǎn)。求四邊形ABCD面積的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡曲線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),寫(xiě)出曲線在點(diǎn)處的切線的方程;(不要求證明)
(3)直線過(guò)切點(diǎn)與直線垂直,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:直線恒過(guò)一定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線上有一點(diǎn),到焦點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求及的值.
(Ⅱ)如圖,設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn),且,過(guò)弦的中點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于點(diǎn),連接.試判斷的面積是否為定值?若是,求出定值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
矩形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),邊與軸平行,=8,=6.分別是矩形四條邊的中點(diǎn),是線段的四等分點(diǎn),是線段的四等分點(diǎn).設(shè)直線與,與,與的交點(diǎn)依次為.
(1)以為長(zhǎng)軸,以為短軸的橢圓Q的方程;
(2)根據(jù)條件可判定點(diǎn)都在(1)中的橢圓Q上,請(qǐng)以點(diǎn)L為例,給出證明(即證明點(diǎn)L在橢圓Q上).
(3)設(shè)線段的(等分點(diǎn)從左向右依次為,線段的等分點(diǎn)從上向下依次為,那么直線與哪條直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上?(寫(xiě)出結(jié)果即可,此問(wèn)不要求證明)
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