【答案】
分析：（1）把a=1代入求出其導函數(shù)，得出其在定義域上的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）的最值；
（2）先求出其導函數(shù)
，通過討論a的取值得出函數(shù)在[1，+∞）上的單調(diào)性，進而求出函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最值；
（3）先由（1）知對任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，再令x=
代入x-1≥lnx即可證明結論．
解答：解：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=x-lnx，，x∈（0，+∞）
∵
，令f'（x）=0得x=（12分）
∵當x∈（0，1）時，f'（x）＜0∴函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)
∵當x∈（1，+∞）時f'（x）＞0∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴當x=1時，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）
最小值=f（1）=1（4分）
（2）∵
，
若a≤0，則對任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有最大值，沒有最小值，f（x）
最大值=f（1）=a；（6分）
若a＞0，令f'（x）=0得
當0＜a＜1時，
，當
時f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在
上為減函數(shù)
當
時f'（x）＞0∴函數(shù)f（x）在
上為增函數(shù)
∴當
時，函數(shù)f（x）有最小值，
（8分）
當a≥1時，
在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）
最小值=f（1）=a．（9分）
綜上得：當a≤0時，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）
最大值=a；
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）有最小值，
；
當a≥1時，函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）
最小值=a．（10分）
（3）證明：由（1）知函數(shù)f（x）=x-lnx在（0，+∞）上有最小值1
即對任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，（12分）
當且僅當x=1時“=”成立
∵n∈N
*∴
且
∴
∴對任意的n∈N
*都有
．（14分）
點評：本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)和導數(shù)這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點．
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