Question

4．如圖，公園有一塊邊長為2的等邊三角形△ABC的地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
（1）設(shè)AD=x，DE=y，請將y表示為x的函數(shù)，并求出該函數(shù)的定義域；
（2）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應(yīng)在哪里？請予以說明．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面積公式得出AE與x的關(guān)系，再使用余弦定理得出y關(guān)于x的函數(shù)；
（2）利用基本不等式求y的最小值，利用函數(shù)單調(diào)性求y的最大值．

解答 解：（1）在△ADE中，由余弦定理得：y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°，
∴y²=x²+AE²-x•AE，①
又S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•x•sin60°=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴x•AE=2，即AE=$\frac{2}{x}$，
∴${y^2}={x^2}+{（\frac{2}{x}）^2}-2$（y＞0），
∴$y=\sqrt{{x^2}+\frac{4}{x^2}-2}$．x∈[1，2]．
（2）如果DE是水管，$y=\sqrt{{x^2}+\frac{4}{x^2}-2}≥\sqrt{2•2-2}=\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)${x^2}=\frac{4}{x^2}$，即$x=\sqrt{2}$時(shí)等號成立，
此時(shí)AD=DE=AE=$\sqrt{2}$．
如果DE是參觀線路，記$f（x）={x^2}+\frac{4}{x^2}$-2，
則f（x）在$[1，\sqrt{2}]$上遞減，在$[\sqrt{2}，2]$上遞增，
且f（1）=f（2）=3，
∴y_max=$\sqrt{3}$，此時(shí)DE為AB邊的中線或AC邊的中線．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)最值的解法，函數(shù)單調(diào)性與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．