Question

已知定義域為R的函數f（x）=

b-2x

2x-a

是奇函數．
（1）求a，b的值，并判斷f（x）的單調性；
（2）若對于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數性質得：f（0）=0，f（-1）=-f（1），可求出a，b值，根據單調性的定義即可作出判斷；
（2）由函數的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，變?yōu)榫唧w不等式恒成立，從而可轉化為函數最值問題解決．

解答：解：（1）∵f（x）為R上的奇函數，∴f（0）=0，b=1．
又f（-1）=-f（1），得a=-1．
經檢驗a=-1，b=1符合題意．
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
  則f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1

-

1-2x2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，∴2x2-2x1＞0，又（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）為R上的減函數．
（2）因為不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
所以f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
因為f（x）為奇函數，所以f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又f（x）為減函數，所以t²-2t＞k-2t²，即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

，
所以k＜-

1

3

．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查不等式恒成立問題，關于函數的奇偶性、單調性常利用定義解決，而恒成立問題則轉化為函數最值問題．