已知橢圓C的中心為坐標原點O，右焦點為F（1，0），短軸長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+b與橢圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB，求證直線l與以原點為圓心的定圓相切，并求該定圓的方程．
考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）直接由題意求出c，b的值，結(jié)合隱含條件得到a的值，則橢圓C的方程可求；
（2）設出交點坐標，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關系得到兩交點橫縱坐標的積，代入OA⊥OB得到
|b|
k2+1
=
2
6
3
，即圓的半徑，則定圓方程可求．
解答： （1）解：根據(jù)題意，c=1，2b=2，b=1，
a2=b2+c2=2，
∴橢圓方程：
x2
2
+y2=1；
（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），
直線y=kx+b代入橢圓方程得：
（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0．
x1+x2=
-4kb
1+2k2
，x1x2=
2b2-2
1+2k2
．
∵OA⊥OB，
x1x2+y1y2=0．
∵y1=kx1+b，y2=kx2+b，
∴(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0．
(k2+1)•
2b2-2
1+2k2
+kb•
-4kb
1+2k2
+b2=0．
整理得，b2=
2
3
(1+k2)．
而原點到直線AB的距離d即圓的半徑r=
|b|
k2+1
=
2
6
3
，
由此得出直線與原點為圓心的圓相切，半徑為定長：
2
6
3
．
圓的方程為x2+y2=
8
3
．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和橢圓的位置關系，涉及直線和圓錐曲線關系問題，常采用一元二次方程根與系數(shù)關系解題，是壓軸題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓M的方程為（x+1）2+y2=（2a）2（a為正常數(shù)，且a≠1）及定點N（1，0），動點P在圓M上運動，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點Q，動點Q的軌跡為曲線Ω．
（1）討論曲線Ω的曲線類型，并寫出曲線Ω的方程；
（2）當a=2時，過曲線Ω內(nèi)任意一點T作兩條直線分別交曲線Ω于A、C和B、D，設直線AC與BD的斜率分別為k1、k2，若|AT|•|TC|=|BT|•|TD|，求證：k1+k2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知極點與坐標原點重合，極軸與x軸非負半軸重合，兩個坐標系單位長度相同，已知傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程：
x=-1+tcosα
y=1+tsinα
（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ．
（1）若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點的極坐標；
（2）設曲線C與直線l相交于A、B兩點，且|AB|=2
3
，求tanα．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-mx+m2-19=0}，B={y|y2-5y+6=0}，C={z|z2+2z-8=0}，是否存在實數(shù)m，同時滿足A∩B≠∅，A∩C=∅．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）求等差數(shù)列8，5，2的第10項；
（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx（x＞0）．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-x+1的極值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+|x-a|（a為實常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式（x2-1）f（x）≥k（x-1）2對一切正實數(shù)x恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于正整數(shù)n≥2，用Tn表示關于x的一元二次方程x2+2ax+b=0有實數(shù)根的有序數(shù)組（a，b）的組數(shù)，其中a，b∈{1，2，…，n2}（a和b可以相等）；對于隨機選取的a，b∈{1，2，…，n}（a和b可以相等），記Pn為關于x的一元二次方程x2+2ax+b=0有實數(shù)根的概率．
（1）求T n2和P n2；
（2）求證：對任意正整數(shù)n≥2，有Pn＞1-
1
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-
π
3
）．
（Ⅰ）請你用“五點法”畫出函數(shù)f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；
（Ⅱ）若x∈[
π
2
，π]時，求函數(shù)f（x）的最值以及取得最值時的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（-2，-1），
b
=（λ，1），λ∈R．
（Ⅰ）當λ=3時，求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（Ⅱ）若
a
與
b
的夾角的余弦值為正，λ的取值范圍．

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