已知函數(shù),設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,其中為正實(shí)數(shù).

(1)用表示;

(2),若,試證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和,記數(shù)列的前項(xiàng)和,求

 

【答案】

(1);(2)證明見(jiàn)解析,;(3) .

【解析】

試題分析:(1)直接利用導(dǎo)數(shù)得出切線斜率,寫(xiě)出點(diǎn)處切線方程,在切線方程中令,就可求出切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即;(2)要證明數(shù)列為等比數(shù)列,關(guān)鍵是找到的關(guān)系,按題設(shè),它們由聯(lián)系起來(lái),,把用(1)中的結(jié)論代換,變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032205023329844144/SYS201403220503077515992035_DA.files/image011.png">的式子,它應(yīng)該與是有聯(lián)系的,由此就可得出結(jié)論;(3)按照要求,首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,當(dāng)然要利用),直接等于,數(shù)列實(shí)際上是一個(gè)等差數(shù)列,那么數(shù)列就是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到的新數(shù)列,其前項(xiàng)的求法是乘公比錯(cuò)位相減法,即,記等比數(shù)列的公比是,則有

,兩式相減,即,這個(gè)和是容易求得的.

試題解析:(1)由題可得,所以在曲線上點(diǎn)處的切線方程為,即

,得,即

由題意得,所以      5′

(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032205023329844144/SYS201403220503077515992035_DA.files/image001.png">,所以

,

所以數(shù)列為等比數(shù)列故    10′

(3)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,故數(shù)列的通項(xiàng)公式為

   ①

   ②

②得

       16′

考點(diǎn):(1)函數(shù)圖象的切線;(2)等比數(shù)列的定義;(3)乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.

 

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  表示;

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,求證:

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