已知函數(shù)f(x)=1-
42ax+a
(a>0且a≠1)是定義在R上的奇函數(shù).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),tf(x)≤2x-2恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(Ⅰ)f(x)是奇函數(shù),依定義f(-x)=-f(x),即
2a-x+a-4
2a-x+a
=-
2ax+a-4
2ax+a
,變形為(a-2)[2a2x+(a-2)ax+2]=0對(duì)任意x恒成立,a=2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得y=1-
4
2•2x+2
=1-
2
2x+1
,利用函數(shù)性質(zhì)求出值域.
(Ⅲ)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),tf(x)≤2x-2恒成立,得出t≤
(2x-2)•(2x+1)
2x-1
(x≥1)恒成立,只需t小于等于設(shè)u(x)=
(2x-2)•(2x+1)
2x-1
=2x-
2
2x-1
(x≥1)
的最小值即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)是奇函數(shù)
∴f(-x)=-f(x)
f(x)=
2ax+a-4
2ax+a

2a-x+a-4
2a-x+a
=-
2ax+a-4
2ax+a
,
即(a-2)[2a2x+(a-2)ax+2]=0對(duì)任意x恒成立,
∴a=2              …(4分)
(Ⅱ)∵y=1-
4
2•2x+2
=1-
2
2x+1

又∵2x>0,∴2x+1>1
0<
2
2x+1
<2
,-1<1-
2
2x+1
<1

∴函數(shù)f(x)的值域(-1,1)…(7分)
(Ⅲ)由題意得,當(dāng)x≥1時(shí),t(1-
2
2x+1
)≤2x-2

t•
2x-1
2x+1
2x-2
恒成立,
∵x≥1,∴2x≥2,
t≤
(2x-2)•(2x+1)
2x-1
(x≥1)恒成立,…(9分)
設(shè)u(x)=
(2x-2)•(2x+1)
2x-1
=2x-
2
2x-1
(x≥1)

下證u(x)在當(dāng)x≥1時(shí)是增函數(shù).
任取x2>x1≥1,則u(x2)-u(x1)=2x2-
2
2x2-1
-2x1+
2
2x1-1
=(2x2-2x1)•(1+
2
(2x1-1)•(2x2-1)
)>0
…(11分)
∴當(dāng)x≥1時(shí),u(x)是增函數(shù),
∴u(x)min=u(1)=0
∴t≤u(x)min=u(1)=0
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為t≤0.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,不等式恒成立含參數(shù)的取值范圍.考查轉(zhuǎn)化計(jì)算、推理論證,參數(shù)分離的方法與能力.
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已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( 。
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=( 。

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1-x
ax
+lnx(a>0)

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(2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是(  )

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