Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（C）=3，c=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合函數(shù)周期和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)條件f（C）=3，求出C的大小，結(jié)合余弦定理以及三角形的面積公式進(jìn)行化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$）•（1，sin2x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴函數(shù)f（x）的最小周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（C）=3，
∴f（C）=2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=3，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
∴C是三角形內(nèi)角，
∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{6}$，
∴cosC=$\frac{^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即：a²+b²-$\sqrt{3}ab=1$（1）．
由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absin\frac{π}{6}=\frac{1}{4}ab=\frac{{\sqrt{3}}}{2}⇒ab=2\sqrt{3}$，代入（1）得a²+b²=7，
聯(lián)立方程組消去b可得：a²+$\frac{12}{{a}^{2}}$=7，解之得a²=3或4，
則a=$\sqrt{3}$或2，
∵a＞b，∴a=2，b=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合問題，利用輔助角公式以及余弦定理將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．