Question

方程2x²+x³=2的解的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的極值，判斷極值的符號，即可得到結(jié)論．

解答： 解：由程2x²+x³=2得程2x²+x³-2=0，
設(shè)f（x）=2x²+x³-2，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+4x=x（3x+4），
由f′（x）＞0得x＞0或x＜-

4

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-

4

3

＜x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=0時，函數(shù)取得極小值f（0）=-2＜0，
當(dāng)x=-

4

3

，函數(shù)取得極大值f（-

4

3

）=

32

27

-2＜0，
則函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為1個，
故方程2x²+x³=2的解的個數(shù)為1個，
故答案為：1

點評：本題主要考查方程解的個數(shù)的判斷，根據(jù)方程和函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，求出函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．