Question

【題目】【2018廣東省深中、華附、省實、廣雅四校聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，圓與軸交于點， 為橢圓上的動點， ， 面積最大值為．

（I）求圓與橢圓的方程；

（II）圓的切線交橢圓于點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）圓的方程為，橢圓的方程為．（II）

【解析】【試題分析】（1）根據(jù)離心率可有，依題意可知為橢圓的焦點，故.當(dāng)位于橢圓上頂點時，面積取得最大值，由此列方程可解得的值，并求得圓和橢圓的方程.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程為，利用圓和直線相切求得的等量關(guān)系式，利用韋達(dá)定理和弦長公式計算出弦長并利用配方法求得弦長的取值范圍.當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，可直接得到的坐標(biāo)求出弦長.

【試題解析】

（1）由題意得，解得： ①

因為，所以，點為橢圓的焦點，所以，

設(shè)，則，所以，當(dāng)時，

，代入①解得，所以，

所以，圓的方程為，橢圓的方程為．

（2）①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

因為直線與圓相切，所以，即，

聯(lián)立，消去可得，

，

令，則，所以，

所以，所以

②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，解得，

綜上， 的取值范圍是．