Question

12．某校學(xué)生在進(jìn)行“南水北調(diào)工程對北京市民的影響”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動中，對某居民小區(qū)進(jìn)行用水情況隨機(jī)抽樣調(diào)查，獲得了該小區(qū)400位居民某月的用水量數(shù)據(jù)（單位：立方米），整理得到如下數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖（圖1）：

組號	分組	頻數(shù)
1	[0.5，1）	20
2	[1，1.5）	40
3	[1.5，2）	80
4	[2，2.5）	120
5	[2.5，3）	60
6	[3，3.5）	40
7	[3.5，4）	20
8	[4，4.5）	20

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）從該小區(qū)隨機(jī)選取一名住戶，試估計(jì)這名住戶一個月用水量小于3立方米的概率；
（Ⅲ）若小區(qū)人均月用水量低于某一標(biāo)準(zhǔn)，則稱該小區(qū)為“節(jié)水小區(qū)”．假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，經(jīng)過估算，該小區(qū)未達(dá)到“節(jié)水小區(qū)”標(biāo)準(zhǔn)，而且該小區(qū)居民月用水量不高于這一標(biāo)準(zhǔn)的比例為65%，經(jīng)過同學(xué)們的節(jié)水宣傳，三個月后，又進(jìn)行一次同等規(guī)模的隨機(jī)抽樣調(diào)查，數(shù)據(jù)如圖2所示，估計(jì)這時小區(qū)是否達(dá)到“節(jié)水小區(qū)”的標(biāo)準(zhǔn)？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表能求出a，b的值．
（Ⅱ）設(shè)這名住戶一個月用水量小于3立方米為事件A，利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出這名住戶一個月用水量小于3立方米的概率．
（Ⅲ）由圖可知小區(qū)人均月用水量低于2.5立方米，則稱為“節(jié)水小區(qū)”，由圖求出三個月后的該小區(qū)人均用水量，由此得到三個月后，估計(jì)小區(qū)能達(dá)到“節(jié)水小區(qū)”的標(biāo)準(zhǔn)．

解答 解：（Ⅰ）由數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表知：
a=$\frac{\frac{40}{400}}{0.5}$=0.2，b=$\frac{\frac{120}{40}}{0.5}$=0.6．
（Ⅱ）設(shè)這名住戶一個月用水量小于3立方米為事件A，
則這名住戶一個月用水量小于3立方米的概率P（A）=$\frac{20+40+80+120+60}{400}$=0.8．
（Ⅲ）∵該小區(qū)居民月用水量低于這一標(biāo)準(zhǔn)的比例為30%，
∴由圖可知小區(qū)人均月用水量低于2.5立方米，則稱為“節(jié)水小區(qū)”，
由圖可知，三個月后的該小區(qū)人均用水量為：
1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25＜2.5，
∴三個月后，估計(jì)小區(qū)能達(dá)到“節(jié)水小區(qū)”的標(biāo)準(zhǔn)．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查平均數(shù)的求法及應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．