Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，（e=2.71828）
（1）試討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）①設(shè)g（x）=x+ ，x∈（0，+∞），求g（x）的最小值； ②證明： ≥1﹣x．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=alnx+a+b，

∴f′（1）=a+b=0，故b=﹣a，

∴f（x）=axlnx﹣ax，且f′（x）=alnx，

當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞00，

∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；

a＜0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；

（2）解：①解：∵g（x）=x+ ，x∈（0，+∞），

∴g′（x）=1﹣e1﹣x= ，

x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，

故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

故g（x）min=g（1）=2；

②證明：由（1）得：f（x）=axlnx﹣ax，

由 ≥1﹣x，得：xlnx﹣x+ +x﹣1≥0，

即（xlnx﹣1）（xex﹣1+1）+2≥0

（xlnx+1）xex﹣1+xlnx+1≥2xex﹣1

（xlnx+1）（xex﹣1+1）≥2xex﹣1，

即（lnx+ ）（x+e1﹣x）≥2，

設(shè)h（x）=lnx+ ，h′（x）= ，

故h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

故h（x）≥h（1）=1，

又g（x）在（0，+∞）時(shí)，g（x）≥2，

故（lnx+ ）（x+e1﹣x）≥2成立，

即 ≥1﹣x成立．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；②問題轉(zhuǎn)化為（xlnx﹣1）（xex﹣1+1）+2≥0，即（lnx+ ）（x+e1﹣x）≥2，設(shè)h（x）=lnx+ ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．