Question

【題目】已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1時(shí)取得極值，且f（1）=－1．

（1）試求常數(shù)a、b、c的值；

（2）試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】略

【解析】

試題分析由f′（1）=0， f′（-1）=0， f（－1）=1，聯(lián)立得a=．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定極值情況可求得結(jié)果．

試題解析：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c

∵x=±1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，

∴x=±1是方程f′（x）=0，即3ax2+2bx+c=0的兩根．

① ②

由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f（1）=－1，∴a+b+c=－1， ③

由①②③解得a=，

（2）f（x）=x3－x，

∴f′（x）=x2－=（x－1）（x+1）

當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0

當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0

∴函數(shù)f（x）在（－∞，－1）和（1，+∞）上是增函數(shù)，在（－1，1）上是減函數(shù)．

∴當(dāng)x=－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（－1）=1，

當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（1）=－1．