Question

2．已知定義在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，π]$上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱，當$\frac{π}{4}≤x≤π$時，f（x）=sinx．
（I）求y=f（x）的解析式；
（II）如果關(guān)于x的方程f（x）=a有解，那么將方程在a取某一確定值時所求得的所有的解的和記為M_a，求M_b的所有可能取值及對應的a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)已知中在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，π]$上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱，當$\frac{π}{4}≤x≤π$時，f（x）=sinx，我們可根據(jù)函數(shù)圖象對稱變換法則求出函數(shù)y=f（x）的函數(shù)表達式；
（II）作函數(shù)f（x）的圖象，分析函數(shù)的圖象得到函數(shù)的性質(zhì)，分類討論后，結(jié)合方程在a取某一確定值時所求得的所有解的和記為M_a，即可得到答案．

解答 解：（I）對于任意的-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{4}$，都有$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$-x≤π時，…（2分）
由函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱得f（x）=f（$\frac{π}{2}$-x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）=cosx…（5分）
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[\frac{π}{4}，π]}\\{cosx，x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}）}\end{array}\right.$…（6分）
（II）作出函數(shù)f（x）的圖象（如右下圖所示）可知，若方程f（x）=a有解，則a∈[0，1]
①當0≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=1時，f（x）=a有兩解，M_a=$\frac{π}{2}$…（8分）

②當a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（x）=a有三解，M_a=$\frac{3π}{4}$ …（10分）
③當$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1$時，f（x）=a有四解，M_a=π…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法--圖象變換法，根的存在性及根的個數(shù)的判斷，其中根據(jù)條件結(jié)合對稱變換法則，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．