Question

（本小題滿分12分）

如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似.已知橢圓與橢圓相似，且橢圓的一個短軸端點是拋物線的焦點.

（Ⅰ）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓交于兩點，且與橢圓交于兩點.若線段與線段的中點重合，試判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓？并證明你的判斷.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）橢圓與橢圓是相似橢圓. 證明見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）橢圓的離心率為， 拋物線的焦點為. 

設(shè)橢圓的方程為，由題意，得：　，解得，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .                        ………………………………4分

（Ⅱ）解法一：橢圓與橢圓是相似橢圓.                 ………………………………5分

聯(lián)立和的方程，，消去，得，   ……6分

設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則.  

設(shè)橢圓的方程為，      …………………………………7分

聯(lián)立方程組，消去，得,

設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則. 

∵弦的中點與弦的中點重合，∴，，

∵，∴化簡得， ……………………………10分

求得橢圓的離心率，    ………………………12分

∴橢圓與橢圓是相似橢圓.

解法二：（參照解法1評分）

設(shè)橢圓的方程為，.

∵在橢圓上，∴且，兩式相減并恒等變形得. 

由在橢圓上，仿前述方法可得.

∵弦的中點與弦的中點重合，

∴，求得橢圓的離心率， 即橢圓與橢圓是相似橢圓.

考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點評：綜合題，判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓，主要是要把握好“如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似”這一定義，“點差法”是常用方法．