Question

(20)某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元,因設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元.今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第n年(今年為第一年)的利潤為500(1+)萬元(n為正整數(shù)).

(Ⅰ)設(shè)從今年起的前n年,若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為A_n萬元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為B_n萬元(需扣除技術(shù)改造資金),求A_n、B_n的表達(dá)式;

(Ⅱ)依上述預(yù)測,從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤?

Answer 1

(20)本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

解：

(Ⅰ)依題設(shè),A_n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)

=490n－10n²;

B_n=500［(1+)+(1+)+…+(1+)］－600

=500n－－100.

(Ⅱ)B_n－A_n=(500n－－100)－(490n－10n²)

=10n²+10n－－100

=10［n(n+1)－－10］.

因?yàn)楹瘮?shù)y=x(x+1)－－10在(0,+∞)上為增函數(shù),

當(dāng)1≤n≤3時,n(n+1)－－10≤12－－10<0;

當(dāng)n≥4時,n(n+1)－－10≥20－－10>0.

∴僅當(dāng)n≥4時,B_n>A_n.

答:至少經(jīng)過4年,該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.