【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2 , a∈R. (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間 上有單調(diào)遞增區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)證明不等式:

【答案】解:(Ⅰ)由題知f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞), ,
當(dāng)a=0時(shí), 上恒成立,即 為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,滿足條件;
當(dāng)a≠0時(shí),由f′(x)=0,得x=0,或
若a>0, ,由f′(x)>0,得﹣1<x<0,即f(x)在(﹣1,0)上單調(diào)遞增,顯然, 為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
若a<0,要使函數(shù)f(x)在 上有單調(diào)遞增區(qū)間,則f′(x)>0的解集與 有公共區(qū)間,即 ,﹣1<a<0.
綜上所述,若函數(shù)f(x)在區(qū)間 上有單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(﹣1,+∞);
證明:(Ⅱ)a=1時(shí),在(0,+∞)上,f′(x)<0恒成立,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴x∈(0,+∞)時(shí),f(x)<f(0)=0恒成立,
即 ln(1+x)﹣x﹣x2<0,
即ln(1+x)<x+x2在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,
取x=n,n∈N* , 則0<ln(1+n)<n+n2 ,
,
,
, , ,…, ,
,

【解析】(Ⅰ)由題知f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),可得當(dāng)a=0時(shí),f′(x)>0在 上恒成立;當(dāng)a≠0時(shí),求出導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),分a>0和a<0討論求得使函數(shù)f(x)在 上有單調(diào)遞增區(qū)間的a的范圍;(Ⅱ)取a=1,可知在(0,+∞)上,f′(x)<0恒成立,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,由此得到ln(1+x)<x+x2在區(qū)間(0,+∞)上恒成立, 取x=n,n∈N* , 則0<ln(1+n)<n+n2 , 得 = ,分別取n=1,2,3,…,n,利用累加法證明
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】若一條直線與一個(gè)平面成72°角,則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成角中最大角等于(
A.72°
B.90°
C.108°
D.180°

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【題目】現(xiàn)有四個(gè)函數(shù):①y=xsinx;②y=xcosx;③y=x|cosx|;④y=x2x的圖象(部分)如圖:
則按照從左到右圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)安排正確的一組是(
A.①④③②
B.③④②①
C.④①②③
D.①④②③

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【題目】2017年春晚過后,為了研究演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度的關(guān)系,某網(wǎng)站對(duì)其中一位經(jīng)常上春晚的演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):

上春晚次數(shù)x(單位:次)

2

4

6

8

10

粉絲數(shù)量y(單位:萬人)

10

20

40

80

100


(1)若該演員的粉絲數(shù)量g(x)≤g(1)=0與上春晚次數(shù)x滿足線性回歸方程,試求回歸方程 = x+ ,并就此分析,該演員上春晚12次時(shí)的粉絲數(shù)量;
(2)若用 (i=1,2,3,4,5)表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)粉絲的“即時(shí)均值”(四舍五入,精確到整數(shù)),從這5個(gè)“即時(shí)均值”中任選2數(shù),記所選的2數(shù)之和為隨機(jī)變量η,求η的分布列與數(shù)學(xué)期望. 參考公式: = , =

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【題目】當(dāng)x∈[﹣2,1]時(shí),不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
A.[﹣5,﹣3]
B.[﹣6,﹣ ]
C.[﹣6,﹣2]
D.[﹣4,﹣3]

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【題目】設(shè)函數(shù)fx=,若對(duì)任意給定的m∈(1,+∞),都存在唯一的x0R滿足ffx0))=2a2m2+am,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為( 。

A. B. C. D.

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【題目】某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設(shè)備1.5小時(shí),獲利1200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布列為

W

12

15

18

P

0.3

0.5

0.2

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個(gè)隨機(jī)變量.
(1)求Z的分布列和均值;
(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.

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【題目】已知是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且,若任意的,當(dāng)時(shí),總有

1)判斷函數(shù)[-1,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

2)解不等式:;

3)若對(duì)所有的恒成立,其中是常數(shù)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的離心率e= ,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 , 定點(diǎn),P(2, ),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線F2M、F2N的傾斜角分別為α、β且α+β=π,求證:直線l過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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