Question

下列四個(gè)命題：
①（x+

1

x

+2）⁵的展開(kāi)式共有6項(xiàng)；
②設(shè)回歸直線方程為

^y

=2-2.5x，當(dāng)變量x增加-個(gè)單位時(shí)，y平均增加2.5個(gè)單位；
③已知ξ服從正態(tài)分布N （0，σ²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，則P（ξ＞2）=0.2；
④已知函數(shù)f（a）=

∫

a 0

sinxdx，則f[f（

π

2

）]=1-cos1．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì),二項(xiàng)式定理

分析：①，將已知關(guān)系式轉(zhuǎn)化為（x+

1

x

+2）⁵=

(x+1)10

x5

，利用二項(xiàng)式定理可知展開(kāi)式共有11項(xiàng)，可判斷①；
②，設(shè)回歸直線方程為

^y

=2-2.5x，當(dāng)變量x增加-個(gè)單位時(shí)，y平均減少2.5個(gè)單位，可判斷②；
③，利用正態(tài)分布的概率公式，可求得P（ξ＞2）=0.5-P（0≤ξ≤2）=0.5-0.4=0.1，可判斷③；
④，利用微積分基本定理可求得f（

π

2

）=1-cos

π

2

=1，繼而可求得f[f（

π

2

）]=1-cos1，可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，（x+

1

x

+2）⁵=(

x2+2x+1

x

)5=

(x+1)10

x5

展開(kāi)式共有11項(xiàng)，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，設(shè)回歸直線方程為

^y

=2-2.5x，當(dāng)變量x增加-個(gè)單位時(shí)，y平均減少2.5個(gè)單位，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵ξ服從正態(tài)分布N （0，σ²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，
∴P（0≤ξ≤2）=0.4，
∴P（ξ＞2）=0.5-P（0≤ξ≤2）=0.5-0.4=0.1，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，∵f（a）=

∫

a 0

sinxdx=-cosx

|

a 0

=1-cosa，
∴f（

π

2

）=1-cos

π

2

=1，
∴f[f（

π

2

）]=f（1）=1-cos1，故④正確．
綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查二項(xiàng)式定理、回歸方程、正態(tài)分布及微積分基本定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力．