【題目】已知函數(shù),其中.
(1)設(shè),討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn),求的范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)的取值范圍是.
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)可以得到,分三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào).(2)計(jì)算可以得到,其導(dǎo)數(shù)為,我們需要討論的符號(hào),故需再構(gòu)建新函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為,結(jié)合原函數(shù)的形式和的形式,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)恒成立;當(dāng)時(shí), 在上有極小值點(diǎn) ,結(jié)合可知 在上有零點(diǎn);當(dāng)時(shí), 恒成立,結(jié)合可知, 在上也是恒成立的,故而在上遞增恒成立.
解析:(1)定義域
故 則
若,則 在 上單調(diào)遞減;
若,則 .
(i) 當(dāng) 時(shí),則 ,因此在 上恒有 ,即 在 上單調(diào)遞減;
(ii)當(dāng)時(shí), ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2)設(shè) ,
,設(shè),
則 .
先證明一個(gè)命題:當(dāng)時(shí), .令, ,故在上是減函數(shù),從而當(dāng)時(shí), ,故命題成立.
若 ,由 可知, .,故 ,對(duì)任意都成立,故 在上無(wú)零點(diǎn),因此.
(ii)當(dāng),考察函數(shù) ,由于 在 上必存在零點(diǎn).設(shè)在 的第一個(gè)零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí), ,故 在 上為減函數(shù),又 ,
所以當(dāng) 時(shí), ,從而 在 上單調(diào)遞減,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令時(shí),則有,由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù) 在 上有零點(diǎn),符合題意.
(iii)若,則由 可知, 恒成立,從而 在 上單調(diào)遞增,也即 在上單調(diào)遞增,因此,即在 上單調(diào)遞增,從而恒成立,故方程 在 上無(wú)解.
綜上可知, 的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】全集,非空集合,且中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對(duì)稱.下列命題:
①若,則;
②若,則中至少有8個(gè)元素;
③若,則中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù);
④若,則.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(2+x)=f(2-x),當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),f(x)=-1,若關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)恰有4個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B. (1,4)
C. (1,8) D. (8,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為萬(wàn)元,且.
(1)寫出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大?(注:年利潤(rùn)=年銷售收入﹣年總成本)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在直三棱柱中, ,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
(1)求證: ∥平面;
(2)若,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線.
(1)將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍、倍后得到曲線,請(qǐng)寫出直線,和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且, 與曲線交于點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2018屆遼寧省凌源市高三上學(xué)期期末】隨著科技的發(fā)展,手機(jī)成為人們?nèi)粘I钪斜夭豢缮俚耐ㄐ殴ぞ,現(xiàn)在的中學(xué)生幾乎都擁有了屬于自己的手機(jī).為了調(diào)查某地區(qū)高中生一周內(nèi)使用手機(jī)的頻率,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽查了該地區(qū)100名高中生某一周內(nèi)使用手機(jī)的時(shí)間(單位:小時(shí)),所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為,由此得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值并估計(jì)該地區(qū)高中生一周使用手機(jī)時(shí)間的平均值;
(2)從使用手機(jī)時(shí)間在的四組學(xué)生中,用分層抽樣方法抽取13人,則每組各應(yīng)抽取多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富,除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu),網(wǎng)上叫外賣也開(kāi)始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分,為了解網(wǎng)絡(luò)外賣在市的普及情況, 市某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了關(guān)于網(wǎng)絡(luò)外賣的問(wèn)卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)民中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到表格(單位:人).
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用網(wǎng)絡(luò)外賣的情況與性別有關(guān)?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出了3人贈(zèng)送外賣優(yōu)惠券,求選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的概率;
②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù),若,則稱為狄利克雷函數(shù).對(duì)于狄利克雷函數(shù),給出下面4個(gè)命題:①對(duì)任意,都有;②對(duì)任意,都有;③對(duì)任意,都有, ;④對(duì)任意,都有.其中所有真命題的序號(hào)是( )
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
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