Question

如圖，已知雙曲線（a＞0，b＞0）其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：（O為原點(diǎn)）且
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點(diǎn)B的直線l交雙曲線于 M、N兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)條求出A，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合求出D的坐標(biāo)，再根據(jù)即可求出a和b之間的關(guān)系，進(jìn)而求出曲線的離心率；
（2）先假設(shè)存在定點(diǎn)C（0，n）使為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1；聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求出M，N的坐標(biāo)與k之間的關(guān)系以及k所滿足的范圍；再求出的值結(jié)合為常數(shù)即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）由題得B（0，-b），A（，P（c，）
∵2
∴D為線段FP的中點(diǎn)  （1分）
∴D（c，，
∵
即A、B、D共線（2分）
∴而?，
?∴-得a=2b
∴e=（4分）?
（2）∵a=2而e=
∴雙曲線方程為①（5分）
∴B（0，-1）
假設(shè)存在定點(diǎn)C（0，n）使為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1   ②（6分）
由②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由題意得得
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴?（8分）
而?
=?
整理得：[4（n+1）²-8n-4u]k²+[8-（n+1）²+u]=0     （10分）
對滿足，
∴解得n=4，u=17
故存在y軸上的定點(diǎn)C（0，4），使為常數(shù)17    （14分）
點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．其中問題（2）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．