Question

設(shè)S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₃=a₇，a₈-2a₃=3．
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=

1

Sn

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和記為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意聯(lián)立方程組解得首項(xiàng)及公差即得；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題得

3a1+3d=a1+6d (a1+7d)-2(a1+2d)=3

，（3分）
解得a₁=3，d=2，（5分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1；                      （6分）
（2）由（1）得，S_n=na₁+

n(n-1)

2

•d=n（n+2），（8分）
∴b_n=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），（10分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

+

2n+3

2(n+1)(n+2)

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的基本運(yùn)算及利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及方程思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．