Question

（2013•東城區(qū)一模）設(shè)A是由n個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作：A=（a₁，a₂，…，a_i，…，a_n）．其中a_i（i=1，2，…，n）稱為數(shù)組A的“元”，S稱為A的下標(biāo)．如果數(shù)組S中的每個(gè)“元”都是來自 數(shù)組A中不同下標(biāo)的“元”，則稱A=（a₁，a₂，…，a_n）為B=（b₁，b₂，…b_n）的子數(shù)組．定義兩個(gè)數(shù)組A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）的關(guān)系數(shù)為C（A，B）=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．
（Ⅰ）若A=(-

1

2

，

1

2

)，B=（-1，1，2，3），設(shè)S是B的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，求C（A，S）的最大值；
（Ⅱ）若A=(

3

3

，

3

3

，

3

3

)，B=（0，a，b，c），且a²+b²+c²=1，S為B的含有三個(gè)“元”的子數(shù)組，求C（A，S）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依據(jù)題意中“元”的含義，可知當(dāng)S=（-1，3）時(shí)，C（A，S）取得最大值為2．
（Ⅱ）對(duì)0是不是S中的“元”進(jìn)行分類討論：①當(dāng)0是S中的“元”時(shí)，由于A的三個(gè)“元”都相等，及B中a，b，c三個(gè)“元”的對(duì)稱性，利用平均值不等式計(jì)算C(A，S)=

3

3

(a+b)的最大值，②當(dāng)0不是S中的“元”時(shí)，只須計(jì)算C(A，S)=

3

3

(a+b+c)的最大值即可，最后綜上即可得出C（A，S）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）依據(jù)題意，當(dāng)S=（-1，3）時(shí)，C（A，S）取得最大值為2．
（Ⅱ）①當(dāng)0是S中的“元”時(shí)，由于A的三個(gè)“元”都相等，及B中a，b，c三個(gè)“元”的對(duì)稱性，可以只計(jì)算C(A，S)=

3

3

(a+b)的最大值，其中a²+b²+c²=1．
由（a+b）²=a²+b²+2ab≤2（a²+b²）≤2（a²+b²+c²）=2，
得 -

2

≤a+b≤

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)c=0，且a=b=

2

2

時(shí)，a+b達(dá)到最大值

2

，
于是C(A，S)=

3

3

(a+b)=

6

3

．
②當(dāng)0不是S中的“元”時(shí)，計(jì)算C(A，S)=

3

3

(a+b+c)的最大值，
由于a²+b²+c²=1，
所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤3（a²+b²+c²）=3，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．
即當(dāng)a=b=c=

3

3

時(shí)，a+b+c取得最大值

3

，此時(shí)C(A，S)=

3

3

(a+b+c)=1．
綜上所述，C（A，S）的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查排序不等式及應(yīng)用、平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．