Question

（本題滿(mǎn)分12分）已知橢圓C：（a>b>0）的上頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,且橢圓C過(guò)點(diǎn)P（，），以AP為直徑的圓恰好過(guò)右焦點(diǎn)F2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在兩定點(diǎn)，使其到直線(xiàn)l的距離之積為1？若存在，請(qǐng)求出兩定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在兩個(gè)定點(diǎn)（1,0）,（?1,0）,使其到直線(xiàn)l 的距離之積為定值1

【解析】

試題分析：【解析】
（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)P（，），所以,解得 ,

又以AP為直徑的圓恰好過(guò)右焦點(diǎn) ．所以A?P,即?=?1, =c（4?3c）． 6分

而 ,所以?2c+1=0,解得=1,

故橢圓C的方程是． 4分

（2）①當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為y=kx+p，代入橢圓方程得

因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以

，

即 7分

設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)（s,0）,（t,0）,使其到直線(xiàn)l的距離之積為1,則

,

即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或 （**）．

由（*）恒成立,得，解得,或,

而（**）不恒成立． 10分

②當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x=?時(shí)，

定點(diǎn) （－1，0）、 （1，0）到直線(xiàn)l的距離之積．

綜上,存在兩個(gè)定點(diǎn)（1,0）,（?1,0）,使其到直線(xiàn)l 的距離之積為定值1 12分

考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系