13.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1,M是PB的中點(diǎn).
(1)求AC與PB所成的角;
(2)求面AMC與面BMC所成二面角余弦值的大小.

分析 (1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD、AB、AP為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用$cos<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{PB}>$=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}$即可得出.
(2)設(shè) $\overrightarrow{n}$=(x,y,z)為平面的ACM的一個法向量,則 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•×\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$,可得$\overrightarrow{n}$.設(shè)平面BMC的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x0,y0,z0),則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$,可得$\overrightarrow{m}$.利用cos$<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}$=即可得出.

解答 解:(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD、AB、AP為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(0,2,0),M(0,1,$\frac{1}{2}$),
$\overrightarrow{AC}$=(1,1,0),$\overrightarrow{PB}$=(0,2,-1),
∴$cos<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{PB}>$=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
∴AC與PB所成的角為arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
(2)$\overrightarrow{BC}$=(1,-1,0),$\overrightarrow{CM}$=(-1,0,$\frac{1}{2}$),
設(shè) $\overrightarrow{n}$=(x,y,z)為平面的ACM的一個法向量,
則 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•×\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$,即 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$,
取$\overrightarrow{n}$=(1,-1,2).
設(shè)平面BMC的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x0,y0,z0),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$,取$\overrightarrow{m}$=(1,1,2).
則cos$<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$.
∵面AMC與面BMC所成二面角的平面角是鈍角,因此余弦值的大小為-$\frac{2}{3}$.

點(diǎn)評 本題考查了空間線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角、異面直線所成的角、法向量的應(yīng)用、向量夾角公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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