Question

在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC與不同的兩點M，N，若

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，m＞0，n＞0，則

1

m

+

4

n

的最小值為（　　）

• A．2
• B．4
• C．

  9

  2

• D．9

Answer 1

分析：三點共線時，以任意點為起點這三點為終點的三向量，其中一向量可用另外兩向量線性表示且其系數(shù)和為1.

m

2

+

n

2

=1的妙用會使問題簡單化．

解答：解：∵點O是BC的中點，∴

AO

=

1

2

(

AB

+

AC

)
又

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，m＞0，n＞0∴

AO

=

m

2

AM

+

n

2

AN

∵M、O、N三點共線，∴

m

2

+

n

2

=1
故

1

m

+

4

n

=(

1

m

+

4

n

)(

m

2

+

n

2

)=

5

2

+

n

2m

+

2m

n

≥

5

2

+2

n 2m • 2m n

=

9

2

當(dāng)且僅當(dāng)

n

2m

=

2m

n

，即m=

2

3

，n=

4

3

時取到等號，故

1

m

+

4

n

的最小值為：

9

2

故選C．

點評：本題主要考查了基本不等式在求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知向量的知識尋求基本不等式的條件，屬基礎(chǔ)題．