Question

【題目】已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在實(shí)數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意，均有成立，稱數(shù)對(duì)為函數(shù)的“伴隨數(shù)對(duì)”.

（1）判斷函數(shù)是否屬于集合，并說明理由；

（2）試證明：假設(shè)為定義在上的函數(shù)，且，若其“伴隨數(shù)對(duì)”滿足，求證：恒成立；

（3）若函數(shù)，求滿足條件的函數(shù)的所有“伴隨數(shù)對(duì)”.

Answer 1

【答案】（1）；見解析（2）見解析；（3），，

【解析】

（1）根據(jù)題意利用恒成立，直接解出；（2）把替換成，根據(jù)成立，得出結(jié)論；（3），利用三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到對(duì)任意的都成立，所以，根據(jù)題意推出，再求出結(jié)論．

解：（1）由及，

可得，即為對(duì)成立，

需滿足條件，解得，，因，存在，所以．

（2）證明：由，對(duì)于定義域內(nèi)的任意，均有成立，

所以把替換成，成立，即，因?yàn)?/span>，所以，

所以，由的任意性及其存在，所以恒成立．

（3）由，得，

展開得，

所以，

即對(duì)任意的都成立，所以，

即，由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），

所以，又因?yàn)?/span>，故．

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，．

故函數(shù)的“伴隨數(shù)對(duì)”為和，．