Question

【題目】已知三條直線l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．
（1）證明：這三條直線共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）求這三條直線圍成的三角形的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：直線l1：ax﹣y+a=0恒過(guò)定點(diǎn)A（﹣1，0），

直線l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)A（﹣1，0），

∴直線l1與l3交于點(diǎn)A；

又直線l2：x+ay﹣a（a+1）=0不過(guò)定點(diǎn)A，

且l1與l2垂直，必相交，設(shè)交點(diǎn)為B，則B（ ， ）；

l2與l3相交，交點(diǎn)為C（0，a+1）；

∵a＞0，∴三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)不相同，

即這三條直線共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）解：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形如圖所示；

AB⊥BC，

∴點(diǎn)B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點(diǎn)外；

則△ABC的面積最大值為

S= |AC| |AC|= ×（1+（a+1）2）= a2+ a+ ．

【解析】（1）分別求出直線l1與l3的交點(diǎn)A、l1與l2的交點(diǎn)B和l2與l3的交點(diǎn)C，且判斷三點(diǎn)的坐標(biāo)各不相同即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由AB⊥BC知點(diǎn)B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點(diǎn)外；由此求出△ABC的面積最大值．