Question

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

① 若直線垂直于軸，求的大小;

② 若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）（�。┊�(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為.

（ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，不存在直線使得為等腰三角形.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且.

由題意可知：，.             2分

解得.            

∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.           3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.設(shè).

（�。┊�(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為.

由 解得：或

即（不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方）.        5分

則直線的斜率，直線的斜率.

∵ ，得 .

∴ .                 6分

（ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為.

由消去得：.

因?yàn)?點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，顯然.

          8分

因?yàn)?，，，

所以

.

∴ .    即為直角三角形.                   11分

假設(shè)存在直線使得為等腰三角形，則.

取的中點(diǎn)，連接，則.

記點(diǎn)為.

另一方面，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo).

又

故與不垂直，矛盾.

所以 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，不存在直線使得為等腰三角形.              13分

考點(diǎn)：本題主要考查直線方程，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。解題過(guò)程中，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積，“化證為算”，達(dá)到證明目的。