Question

1．給出以下幾個命題：
（1）命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的必要不充分條件；
（2）命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“對?x∈R，均有x²+x+1＞0”；
（3）經(jīng)過兩個不同的點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直線都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）來表示；
（4）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項和，且滿足S_n+1=$\frac{1}{2}{S_n}$+2，則{a_n}是等比數(shù)列；
（5）若函數(shù)f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1處有極值10，則a=4，b=11．
其中所有正確命題的序號是（3）（5）．

Answer 1

分析 （1），命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分不必要條件；
（2），命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“對?x∈R，均有x²+x+1≥0”；
（3），把經(jīng)過兩個不同的點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的兩點式方程變形即可；
（4），由S_n+1=$\frac{1}{2}{S_n}$+2⇒S_n=$\frac{1}{2}{s}_{n-1}$+2⇒${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}\\;\\;（n≥2）$，可是${a}_{2}=\frac{3}{2}，{a}_{1}=1$不滿足；
（5），由 f′（1）=0，f（1）=10解得a、b并檢驗即可．

解答 解：對于（1），命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分不必要條件，故錯；
對于（2），命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“對?x∈R，均有x²+x+1≥0”，故錯；
對于（3），把直線的兩點式方程變形，經(jīng)過兩個不同的點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直線都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）來表示，故正確；
對于（4），由S_n+1=$\frac{1}{2}{S_n}$+2⇒S_n=$\frac{1}{2}{s}_{n-1}$+2⇒${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}\\;\\;（n≥2）$，可是${a}_{2}=\frac{3}{2}，{a}_{1}=1$不滿足，故錯；
對于（5），函數(shù)f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1處有極值10，解：對函數(shù)f（x）求導得 f′（1）=3+2a-b=0
f（1）=1+a-b+a²=10，解得a=4，b=11或a=-3，b=-3（經(jīng)驗證無極值），故正確；
故答案為：（3）（5）．

點評 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題．