Question

3．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）=Asin（ωx+φ）	0	5	0	-5	0

（1）請將如表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心．
（3）求當(dāng)$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時，函數(shù)y=g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖的方法，求得A、ω、φ的值，可得函數(shù)的解析式，并得到完整的表格．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心．
（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當(dāng)$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時，函數(shù)y=g（x）的值域．

解答 解：（1）根據(jù)所給的表格可得A=5，$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$，∴ω=2，結(jié)合五點法作圖可得2•$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
根據(jù)五點法作圖可得表格具體為：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
f（x）	0	5	0	-5	0

（2）將函數(shù)y=f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，
得到函數(shù)y=g（x）=5sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心為（-$\frac{π}{12}$，0）．
（3）求當(dāng)$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$時，g（x）取得最小值為-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，g（x）取得最大值為5，故函數(shù)y=g（x）的值域為[-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，5]．

點評 本題主要考查用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．