Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx．
（1）若函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=-1，F(xiàn)（x）=

f(x)， x＞0 -f(x)， x＜0

，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，且f（x）≤1在區(qū)間（0，1]上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到方程組解出a，b的值即可；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b≤-x+

1

x

在（0，1]恒成立，令g（x）=-x+

1

x

，得到g（x）在（0，1]遞減，求出g（x）的最小值，從而求出b的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）的最小值為f（-1）=-1，
∴

f(-1)=a-b=-1 - b 2a =-1

，解得：

a=1 b=2

，
∴f（x）=x²+2x，
∵F（x）=

f(x)， x＞0 -f(x)， x＜0

，
∴F（x）=|f（x）|，
畫(huà)出函數(shù)F（x）的圖象，如圖示：
，
∴F（x）在（-∞，-2）遞減，在（-2，-1）遞增，
在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+bx，
由f（x）≤1在區(qū)間（0，1]上恒成立，
得x²+bx-1≤0在（0，1]上恒成立，
即：b≤-x+

1

x

在（0，1]恒成立，
令g（x）=-x+

1

x

，則g′（x）=-1-

1

x2

＜0，
∴g（x）在（0，1]遞減，∴g（x）_min=g（1）=0，
∴b≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．